Birim Cemberi

Trigonometri
Birim Çember ve Yönlü Açılar
Birim Çember: Yarı çapı bir birim olan ve merkezi orijinde bulunan çembere birim çember denir.Birim çemberin uzunluğu 2:’dir.
Yönlü Açı : Bitim kenarı birim çemberin pozitif yönünde olan açılara pozitif yönlü açılar denir. Bitim kenarı birim çemberin negatif yönünde olan açılara da negatif yönlü açılar denir.


y


Q Bitim ışını


+ x Başlangıç ışını

-
Bitim ışını




AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Derece: Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 360D dir. Bir çemberin 360’ta birini gören açının ölçüsü 1 dir. 1 nin ¹/60 ‘ine 1’ (dakika) denir. Bir dakikanın ¹/60 ‘ine 1” (saniye) denir.
Radyan: Bir çemberin tüm yayının ölçüsü 2R radyan dır. Bir çemberde yarı çapı uzunluğundaki bir yayı gören merkez açının ölçüsü 1 radyan dır.
Grad: Bir çemberin tüm yayını ölçüsü 400 grad dır. Bir çemberin ¹/ 400 ‘ini gören merkez açının ölçüsü 1 grad dır.
Derece , Radyan , Grad Arasındaki Bağıntı : D ‗ R ‗ G
180 1 200

Bir Açının Esas Ölçüsü
B derecelik bir açı için 0 360 olmak üzere = + 2k k Z eşitliğinde ‘ya derecelik açının esas ölçüsü denir.
Bir Açının Esas Ölçüsünü Bulma
Bir açının ölçüsü derece cinsinden verildiğinde;
a) Açının ölçüsü 0A ile 360l arasında ise esas ölçüsü verilen ölçüdür.
b) Açının ölçüsü 360A ‘den büyük ise verilen ölçü 360’a bölünür, elde edilen kalan o açının esas ölçüsüdür.
Örnek: 1256 ’nin esas ölçüsünü bulunuz

1256 360
 1080 3
176 Esas ölçü

c)Açını ölçüsü negatif ve ölçünün mutlak değeri 360º ‘den küçükse bu mutlak değer 360’tan çıkarılır.
Örnek: -30º nin esas ölçüsünü bulun. –340º nin esas ölçüsünü bulun.

360 - 30 = 330º 360 – 340 = 20º

d) Açının ölçüsü negatif ve ölçünün mutlak değeri 360’tan büyükse ölçünün mutlak değeri 360’a bölünür,kalan 360’tan çıkarılır.Farkı esas ölçüdür.

Örnek: - 3450º nin esas ölçüsünü bulun.

3450 360 360 – 210 = 150º
 3240 9
210

Bir açının ölçüsü radyan cinsinden verildiğinde;
a)Açının ölçüsü 0 ile 2 radyan arasında bir değer ise esas ölçü verilen değerdir.
b)Açının ölçüsü 2 den büyük ise bu ölçüden e’nin çift katları çıkarılır.Kalan açının esas ölçüsüdür.

Örnek: 191 esas ölçüsünü bulun.
3

191 ‗ 6 . 36 ₊ ‗ 3.2 ₊ 191 ‗ ‗
3 3 3 3 3 3

c)Açının ölçüsü negatif ve bu ölçünün mutlak değeri 2 ’den küçük ise açının ölçüsünün mutlak değeri 2’ ‘den çıkarılır.Fark açının esas ölçüsüdür.

Örnek: - 77 esas ölçüsünü bulun
4

2 - 77 ‗
4 4

d)Açının ölçüsü negatif ve bu ölçünün mutlak değeri 2 ‘den büyükse verilen açının mutlak değerinin esas ölçüsü bulunur ve 2 ’den çıkarılır.

Örnek: - 77 esas ölçüsünü bulun
3

- 77 ‗ - 3,5 3,5 - 2 ‗ 33 2 - 33 ‗
2 2 2 2
sinüs ekseni
cot ekseni B(0,1) cotθ K Trigonometrik Fonksiyonlar
y=1 Kosinüs, Sinüs,Kotanjant ve Tanjant Fonksiyonları:
sinθ h P T Tanım:Bir çemberde S(AÔP)=θ olan P(x,y) noktasının
tanθ apsisine θ reel sayısının kosinüsü denir ve “cosθ ” ile gös-
(1,0)A’ O θ h A(1,0) terilir.P noktasının ordinatına da θ reel sayısının sinüsü
cosθ B kosinüs ekseni denir ve “sinθ” biçiminde gösterilir.
Tanım kümesi R olan ve R’ nin her bir x elemanını
Tan ekseni cosx’e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.
x=1 Tanım kümesi R olan ve R’ nin her bir x elemanı B(0,-,1) sinx ‘ e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.
[OP ‘ nın x=1 doğrusunu kestiği noktanın ordinatına θ’ nın tanjantı denir ve “tanθ” biçiminde gösterilir. [OP ‘ nın y=1 doğrusunu kestiği noktanın apsisine θ’ nın kotanjantı de-
nir ve “cotθ” biçiminde gösterilir.
Tanım kümesi R- { /2+k/ k є Z} olan ve tanım kümesindeki her bir x reel sayısını tanx’ e eşleyen fonksiyona tanjant fonksiyonu denir.
Tanım kümesi R- {k k є Z} olan ve tanım kümesindeki her bir x elemanı cotx’e eşleyen fonksiyona kotanjant fonksiyonu denir.

sin(θ+ k2 ) = sinθ sinθ ‗ tanθ cosθ ‗ cotθ
cos(θ+ k2 ) = cosθ cosθ sinθ

sin²θ+cos²θ ‗ 1 sinθ ‗ √ 1 - cos²θ cosθ ‗ √ 1- sin²θ

Sekant Ve Kosekant Fonksiyonları
Sin
C Aôp yönlü açısının çemberi kestiği nokta P olsun.
B P noktasından çembere çizilen teğetin apsisler eksenini
h P kestiği noktaya g ve ordinat eksenini kestiği noktaya C di-
yelim.g noktasının apsisine θ reel sayısının sekantı denir.
A’ H g cos (secθ). C noktasının ordinatına da θ reel sayısının kosekantı
O A denir.

sec: {/2 +k  , k єZ } secθ ‗ 1 cosecθ‗ 1
B’ cosec: { k , k єZ} cosθ sinθ



Örnek : Sin²θ - 1 ifadesini en sade şekilde yazın. 1 – tan ²x + 1 = ?
cos²θ cos²x

-( 1- sin²θ) ‗ -1 = 1- sin²x + 1
cos²θ cos²x cos²x
= 1+ (-sin²x+1) ‗ 1+ 1- sin²
cos²x cos²

= 1+1=2

Bölgelere Göre Trigonometrik Fonksiyonların Değerleri


sin
secx:- sinx:+ sinx: + secx:+
cosecx:+ cosx:- cosx:+ cosecx:+
tanx:- 2.bölge 1.bölge tanx:+
cotx:- cotx:+ cos

sinx:- 3.bölge 4.bölge sinx:-
cosx:- cosx:+
secx:- tanx:+ tanx:- secx:+
cosecx:- cotx:+ cotx:- cosecx:-




Dik Üçgende Bir dar Açının Trigonometrik Oranları
C
Sin ‗ karşı dik ‗ a tan ‗ karşı dik ‗ a
hipotenüs b komşu dik c
a b
cos ‗ komşu dik ‗ c cot ‗ komşu dik ‗ c
hipotenüs b karşı dik a
B A
c
sec ‗ 1 ‗ 1 ‗ b cosec ‗ 1 ‗ 1 ‗ b
cos c c sin a a
b b

Ölçüler toplamı 90º olan tümler iki açıdan birinin sinüsü öbürünün kosinüsüne birinin tanjantı öbürünün kotanjantına eşittir.



a


0º

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

Sin a

0

1 / 2


√ 2 /2

√ 3 /2

1

0

-1

0

Cos a

1

√ 3 / 2

√ 2 / 2

1 /2

0

-1

0

1

Tan a

0

√ 3 /3

1

√ 3

tanımsız

0

tanımsız

0

Cot a

tanımsız

√ 3

1

1 / √ 3

0

tanımsız

0

tanımsız


Örnek: sin90º . cos60º - tan60º . cos60º ‗ ?

1 - √ 3 . √ 3 ‗ 1 - 3 ‗ -2 ‗ -1
2 2 2 2 2


Trigonometrik Oranlarda Birisi Biliniyorken Diğerini Bulma

Verilen trigonometrik oranın tanımı hatırlanarak bir taslak dik üçgen çizilir.Bu üçge- nin üçüncü kenarının uzunluğu ne olacağı bulunur.sayının bulunduğu bölge dikkate alınarak istenen trigonometrik oranın ne olacağı bulunur.

Örnek: sinx: 4 ve 0 < x < /2 dir. Cosx:? Tanx:? Cotx?
5

4 5 cosx: 3/5 tanx: 5/3 cotx:3/4



Trigonometrik Özdeşlikler
sin
1) ve /2-/ için 2) ve /2+/ için
P1 (-cosP,sins) P2( cos), sin,) sin(s /2 -/ ) = cos sin( /2+/ )=cos
Cos( /2-/) =sin) cos( /2+/ ) =-sin
cosx tan( /2-/) = cot) tan( /2+/ ) =-cot
cot( /2-/) = tan) cot( /2+/ ) =-tan

P3( cos ,-sin ) 3) 3 ve -- için 4) ) ve ++ için
P2( -cosP, -sin, ) sin()--) =sin) sin( ++) =-sin)
cos( --) =-cos) cos( ++) =-cos)
tan( --) =-tan) tan( ++) =tan)
cot( --) =-cot) cot( ++) =cot)

5) 5 ve 3 /2-/ için 6) ve 3 /2+/ için 7) , 2 -- ve - için
sin(3 /2-/)=-cos) sin(3 /2+/) =-cos) sin(2 --) =sin(-)) = -sin)
cos(3c/2-/) =-sin) cos(3 /2+/) =sin) cos(2 --) =cos(-)) =cos)
tan (3t/2-/) =cot) tan(3 /2+/) =-cot) tan (2 --) =tan(-)) =-tan)
cot(3c/2-/) =tan) cot(3 /2+/) =-tan) cot(2 --) =cot(-)) =-cot)


Örnekler:

Sin(5S/4)= sin 225 = sin(/+45)=-sin45=-+ 2 /2

Cos(29C/6)=cos870º=cos150º=cos(/-30)=cos30º=-- 3/2

Tan(5T/3)=tan300º=tan(2/-60)=-tan60º=-- 3

Cot(-11C/4)=-cot735º=cot225º=cot(/+45)=1

Sin150º= sin(S-30)=sin30º = ½

Cos120º=cos(C-60)=-cos60º=1/2

Tan855º=tan135º=tan(T-45)=-tan45º=-1

Cot510º=cot150º=cot(C-30)=-cot30º=-- 3

Sin210º=sin(S+30)=sin(-30º)=-1/2

Cos(-45)= cos45= C 2/2

Tan(3T/4)= -tan(45º)=-1