Reel Sayı Sisteminin Elde Edilişi




REEL SAYI SİSTEMİNİN ELDE EDİLİŞİ


Bütün rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretlediğimizi düşünmüştük. Gördük ki, herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır. Demek oluyor ki, sayı doğrusu üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın iki rasyonel nokta arasında , sonsuz çoklukta rasyonel nokta vardır. Şimdi akla şu soru geliyor: Madem ki sayı
doğrusu üzerinde rasyonel noktalar denilen bu noktalar bu kadar sık,
acaba bu doğru üzerinde daha başka noktalar olabilir mi?


Bu sorunun cevabını verebilmek için, kenar uzunluğu 1 olan bir karenin köşegen uzunluğunu sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Bu uzunluk ? dir, ve rasyonel olmayan, yani p ve q birer tam sayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır (şekil 1). Gerçekten, kabul

ŞEKİL 1

edelim ki ?=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyimle, bunların 1 den başka ortak bölenleri bulunmasın. p ve q nün aralarında asal olduğunu belirtmek için ekseriya (p , q) = 1 yazılır. ?=p/q eşitliğinde her iki tarafın karesini alarak 2?=? bulunur. Burada sol taraf bir çift sayı olduğundan sağ taraf da çift sayıdır. Demek p = 2p1 . Bunu son eşitlikte yerine koyup her iki tarafı 2 ile kısaltırsak aynı muhakeme ile q = 2q1 elde edilir. Böylece (p , q) = 1 hipotezine aykırı bir sonuç bulunmuş olur. O halde ? rasyonel bir sayı değildir. Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
Görülüyor ki, sayı doğrusu üzerinde bütün rasyonel noktalar kendi kendine sık olmakla beraber , bunlar arasında gene boşluklar bulunmaktadır. Gerçekten, örneğin ? sayısına karşılık gelen nokta henüz boştur. Halbuki daha birçok irrasyonel sayılar vardır. Hatta gösterilebilir ki, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılara karşılık gelen rasyonel noktalardan daha çok, irrasyonel sayılara karşılık gelen irrasyonel noktalar vardır. İlerde, cümleler teorisinin bazı ilkel kavramları yardımıyla bunu ispat edeceğiz. Şimdilik kabaca şunu söyleyelim: Bütün rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerinde görüntüleri var ve ? sayısına eşlenen nokta irrasyonel bir noktadır. Bütün bu rasyonel sayılardan her birine ? sayısını eklediğimizi düşünelim, ve bunların sayı doğrusu üzerindeki görüntülerini işaretleyelim. ? irrasyonel sayısı ile herhangi bir rasyonel sayının toplamı gene bir irrasyonel sayı olacağından (ispat !) , bu bir tek irrasyonel sayıdan, sayı doğrusu üzerindeki rasyonel noktaların çokluğu kadar irrasyonel noktalar elde edileceği açıkça görülmektedir.

DEDEKİND KESİMİ

İrrasyonel sayıları rasyonel sayılar yardımıyla belirtebilmek için şu tanımı verelim:

Tanım. Dedekind kesimi. ─ Bütün rasyonel sayılar cümlesini A ve B gibi öyle iki cümleye ayıralım ki

1. Bu cümlelerden hiç biri boş olmasın
2. A daki her sayı B deki her sayıdan küçük olsun, ve
3. A cümlesinde en büyük bir sayı bulunmasın.

Bu takdirde bu A cümlesine Dedekind kesimi denir. Bu kesimi α ile göstereceğiz.

Örnekler. 1) α = { x | x € Q x < 0 }
bir kesimdir. Bu cümle bütün negatif rasyonel sayılardan meydana gelmiştir ve en büyük sayısı yoktur.
2) (1) α = { x | x € Q x < r, r € Q }
bir kesimdir. r rasyonel sayısından küçük bütün rasyonel sayılardan en küçüğüdür. Çünkü (1) den görüldüğü gibi, r den küçük her sayı α kesimine aittir, fakat r ≠ α dır.

Bu (1) kesimine bir rasyonel kesim diyeceğiz.



• Dedekind, Richard (6.10.1831 – 12.2.1916). Alman matematikçisidir. Reel sayılar teorisinin ilk kurucularındandır.
• Buradaki B cümlesine, kesimin üst sınıfı adı verilir.

Bir α kesiminde, (1) de olduğu gibi, kesimin bütün sayılarından büyük rasyonel sayıların bir en küçüğü olması her zaman gerekmez. Örneğin

B = { x | x € Q, x > 0 * > 2 }
olmak üzere
β = { x | x € Q x € B }
cümlesini alalım. Bu bir kesimdir. çünkü B ve β boş değillerdir. y € B, x € β olsa, muhakkak ki x < y dir. Çünkü B de kareleri 2 den büyük olan pozitif tamsayılar bulunmaktadır. B’ ye ait olmayan elemanlar, ya kareleri 2 den küçük olan pozitif sayılardır, yahut da negatif rasyonel sayılardır. Nihayet, β da en büyük rasyonel sayısı olduğunu kabul edelim. Bu sayıya c diyelim. c muhakkak bir pozitif sayı olmak zorundadır, çünkü β da pozitif sayılar vardır. Bundan başka bu c sayısı için
c2< 2
olması gerekir, zira c2 > 2 olsaydı c € B olurdu. O halde β daki pozitif sayıların kareleri 2 den küçüktür, ve bunların en büyüğünü c ile gösterdik. Şimdi r rasyonel sayısını 0< r <1

r < 2 – c2
2c + 1
olarak seçelim c1 = c + r diyelim c1 > c dir ve
c12 = (c + r)2 = c2 + 2rc + r2 = c2 + r(2c+r)
< c2 + r(2c+1) < c2 + 2 - c2=2

c12 < 2 c1 € β
Demek ki β bir kesimdir. Fakat burada β ya ait olmayan sayılar içinde de bir en küçüğü yoktur. Gerçekten, kabul edelim ki d € B bulunsun ve d, ve cümlenin en küçük elemanı olsun. Demek d >0 d2 >2 dir. Şimdi

d1 = d − d2- 2 = d + 1
2 d 2 d
koyalım. 0 < d1 < d dir ve 2
d12= d2 –( d2- 2) + d2- 2 > d2 – (d2-2) = 2
2 d
yani